Question

10．已知$\vec a$，$\vec b$，$\vec c$在同一平面內(nèi)，且$\vec a$=（1，2）．
（1）若|$\vec c$|=2$\sqrt{5}$，且$\vec c$∥$\vec a$，求$\vec c$；
（2）若|$\vec b$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且（$\vec a$+2$\vec b$）⊥（2$\vec a$-$\vec b$），求$\vec a$與$\vec b$的夾角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的共線定理與模長公式，即可求出$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)；
（2）由兩向量垂直數(shù)量積為0，列方程求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值，再利用數(shù)量積的定義求出$\vec a$與$\vec b$的夾角大小．

解答 解�。�1）∵$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，設(shè)$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，
則$\overrightarrow{c}$=（λ，2λ），
又|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，∴λ²+4λ²=20
解得λ=±2，
∴$\overrightarrow{c}$=（2，4）或（-2，-4）；
（2）平面內(nèi)向量夾角的θ的取值范圍是θ∈[0，π]．
∵（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
又∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴2×${（\sqrt{5}）}^{2}$+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=0，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{5}{2}$；
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|}$=$\frac{-\frac{5}{2}}{\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=-1，
∴$\vec a$與$\vec b$的夾角為θ=180°．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量數(shù)量積的定義與應(yīng)用問題，也考查了向量共線定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．