Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+2bx+c，且f（1）=f（3）=-1．設(shè)a＞0，將函數(shù)f（x）的圖象先向右平移a個單位長度，再向下平移a²個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象．
（Ⅰ）若函數(shù)g（x）有兩個零點x₁，x₂，且x₁＜4＜x₂，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[m，n]上的值域為[λ，μ]，若有$\frac{μ-λ}{n-m}＞8$，則稱該函數(shù)為“陡峭函數(shù)”．若函數(shù)g（x）在區(qū)間[a，2a]上為“陡峭函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（1）=f（3）=-1求出b，c值，得到函數(shù)f（x）的解析式，進而可得函數(shù)g（x）的解析式，由函數(shù)g（x）有兩個零點x₁，x₂，且x₁＜4＜x₂，可得g（4）＜0，解得實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）根據(jù)已知中“陡峭函數(shù)”的定義，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論，可得滿足條件的實數(shù)a的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}f（1）=-1\\ f（3）=-1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}1+2b+c=-1\\ 9+6b+c=-1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=2\end{array}\right.$，
即f（x）=x²-4x+2，…（1分）
由題設(shè)可知g（x）=（x-a）²-4（x-a）+2-a²=x²-（2a+4）x+4a+2，…（2分）
因為g（x）有兩個零點x₁，x₂，且x₁＜4＜x₂，
∴g（4）=16-4（2a+4）+4a+2＜0，$⇒a＞\frac{1}{2}$，
又a＞0，于是實數(shù)a的取值范圍為$（{\frac{1}{2}，+∞}）$．…（5分）
（Ⅱ）由g（x）=x²-（2a+4）x+4a+2可知，其對稱軸為x=a+2，…（6分）
①當0＜a≤2時，a+2≥2a，函數(shù)g（x）在區(qū)間[a，2a]上單調(diào)遞減，
最小值λ=g（2a）=-4a+2，最大值μ=g（a）=-a²+2，
則$\frac{μ-λ}{2a-a}＞8⇒\frac{{4a-{a^2}}}{a}＞8⇒\left\{\begin{array}{l}4-a＞8\\ 0＜a≤2\end{array}\right.$，顯然此時a不存在，…（8分）
②當2＜a≤4時，a＜a+2＜2a，最小值λ=g（a+2）=-a²-2，
又$a+2≥\frac{3a}{2}$，最大值μ=g（a）=-a²+2，則$\frac{μ-λ}{2a-a}＞8⇒\frac{4}{a}＞8$，$⇒0＜a＜\frac{1}{2}$，又2＜a≤4，此時a亦不存在，…（10分）
③當a＞4時，a＜a+2＜2a，最小值λ=g（a+2）=-a²-2，
又$a+2＜\frac{3a}{2}$，故最大值μ=g（2a）=-4a+2，
則$\frac{μ-λ}{2a-a}＞8⇒\frac{{{a^2}-4a+4}}{a}＞8⇒\left\{\begin{array}{l}{a^2}-12a+4＞0\\ a＞4\end{array}\right.$，$⇒\left\{\begin{array}{l}a＜6-4\sqrt{2}，或a＞6+4\sqrt{2}\\ a＞4\end{array}\right.$，即$a＞6+4\sqrt{2}$，
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為$（{6+4\sqrt{2}，+∞}）$．…（12分）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．