Question

2．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
（Ⅰ）求證：AC∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）求證：平面A₁BC₁⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明四邊形ACC₁A₁為平行四邊形，可得AC∥A₁C₁，即可證明AC∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）證明A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，即可證明平面A₁BC₁⊥平面BB₁D₁D．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)锳A₁∥CC₁，所以四邊形ACC₁A₁為平行四邊形，…（2分）
所以AC∥A₁C₁，又A₁C₁?平面A₁BC₁，AC?平面A₁BC₁，AC∥平面A₁BC₁； …（5分）
（Ⅱ）易知A₁C₁⊥B₁D₁，因?yàn)锽B₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以BB₁⊥A₁C₁，…（7分）
因?yàn)锽B₁∩B₁D₁=B₁，所以A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
因?yàn)锳₁C₁?平面A₁BC₁，所以平面A₁BC₁⊥平面BB₁D₁D．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的判定、考查線面垂直、面面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．