Question

已知在數列{a_n}中，a₁=3，（n+1）a_n-na_n+1=1，n∈N^*．
（1）證明數列{a_n}是等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）設數列{

1

(an-1)an

}的前n項和為T_n ，證明：T_n＜

1

3

．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）把給出的數列遞推式變形，得到

an

n

-

an+1

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，然后利用累加法求得數列的通項公式，再利用等差數列的定義證明數列{a_n}是等差數列；
（2）把{a_n}的通項公式代入

1

(an-1)an

，放大后列項，然后利用裂項相消法求得數列{

1

(an-1)an

}的前n項和為T_n ，則結論得到證明．

解答： 證明：（1）由（n+1）a_n-na_n+1=1，得

an

n

-

an+1

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
則

a1

1

-

a2

2

=1-

1

2

，

a2

2

-

a3

3

=

1

2

-

1

3

，
…

an-1

n-1

-

an

n

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2）．
累加得：a1-

an

n

=1-

1

n

=

n-1

n

，即a_n=2n+1，
由a_n+1-a_n=2（n+1）+1-2n-1=2為常數．
∴數列{a_n}是公差為2的等差數列；
（2）

1

(an-1)an

=

1

2n(2n+1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn＜

1

2×3

+

1

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

6

+

1

2

(

1

3

-

1

2n+1

)=

1

6

+

1

6

-

1

2(2n+1)

=

1

3

-

1

2(2n+1)

＜

1

3

．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了放縮法證明數列不等式，是中高檔題．