Question

20．已知數(shù)列{a_n}是公差為-2的等差數(shù)列，a₆是a₁+2與a₃的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n+2ⁿ}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得 a₆²=（a₁+2）a₃，求出首項(xiàng)，任何求出a_n=8-2n．
（2）利用分項(xiàng)求和，求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）因?yàn)閍₆是a₁+2與a₃的等比中項(xiàng)，
所以a₆²=（a₁+2）a₃．（2分）
因?yàn)閿?shù)列{a_n}是公差為-2的等差數(shù)列，
所以（a₁-10）²=（a₁+2）（a₁-4），（4分）
解得a₁=6．（6分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=6-2（n-1）=8-2n．（8分）
（2）數(shù)列a_n+2ⁿ=8-2n+2ⁿ．
S_n=（6+4+2+0+…+（8-2n））+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=（7-n）n+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2ⁿ⁺¹-n²+5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．