Question

4．若至少存在一個(gè)x，使得方程lnx-mx=x（x²-2ex）成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{e}+{e}^{2}$]．

Answer 1

分析 求出m=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}+2ex$，且x＞0，設(shè)f（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}+2ex$，則m的取值范圍即f（x）的值域，對(duì)f（x）求導(dǎo)得${f}^{'}（x）=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}+2e-2x$，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵lnx-mx=x（x²-2ex），
∴m=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}+2ex$，且x＞0，
設(shè)f（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}+2ex$，
則m的取值范圍即f（x）的值域，
對(duì)f（x）求導(dǎo)得${f}^{'}（x）=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}+2e-2x$，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．
∴當(dāng)e=0時(shí)，f′（x）=0，f（x）取最大值f（e）=$\frac{lne}{e}-{e}^{2}+2{e}^{2}$=$\frac{1}{{e}^{\;}}+{e}^{2}$．
$\underset{lim}{x→0}$f（x）=-∞．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{e}+{e}^{2}$]．
故答案為：（-∞，$\frac{1}{e}+{e}^{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)最值等等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．