Question

9．下表提供了某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對照數(shù)據(jù)，

x	2	4	6	8	10
y	4	5	7	9	10

（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$，
（2）根據(jù)（1）中求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)20噸該產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗是多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，
求出回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程；
（2）利用線性回歸方程計算x=20時$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，
計算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+6+8+10）=6，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（4+5+7+9+10）=7，
且$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-4）×（-3）+（-2）×（-1）+0×0+2×2+4×3=30，
$\sum_{i=1}^{5}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=（-4）²+（-2）²+0²+2²+4²=40，
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{30}{40}$=0.75，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=7-0.75×6=2.5，
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為$\widehat{y}$=0.75x+2.5，
（2）根據(jù)（1）中求出的線性回歸方程，
計算x=20時，$\widehat{y}$=0.75×20+2.5=17.5，
∴預(yù)測生產(chǎn)20噸該產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗是17.5噸標(biāo)準(zhǔn)煤．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．