Question

20．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是棱BC，CC₁上不與正方體頂點重合的動點，用平面AMN截正方體，下列關(guān)于截面的說法正確的有①②．
①若BM=C₁N，則截面為等腰梯形
②若BM=CM，且$CN＞\frac{1}{2}C{C_1}$時，截面為五邊形
③截面的面積存在最大值
④截面的面積存在最小值．

Answer 1

分析 畫出正方體，根據(jù)動點M，N的不同位置動點不同 的截面；M，N分別是棱BC，CC₁上不與正方體頂點重合的動點，考慮極限位置時 的截面形狀以及面積極限判斷．

解答 解：對于①，如圖1，若BM=C₁N，
則MN∥AD₁，D₁N=AM，截面AMND₁為等腰梯形，故①正確；
對于②，如圖2，若BM=CM，且$CN＞\frac{1}{2}C{C_1}$時，
設(shè)截面與棱C₁D₁的交點為R，
延長DD₁，使DD₁∩NR=N₁，連接AN₁交A₁D₁于S，連接SR，
可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，
可得C₁R：D₁R=C₁N：D₁N₁，截面為五邊形故②正確；
對于③，當BM=C₁N→0時，過點A，M，N的截面→矩形，其面積接近最大，
∵M，N分別是棱BC，CC₁上不與正方體頂點重合的動點，
∴BM=C₁N≠0，∴截面的面積不存在最大值，故③錯誤；
對于④，當BM→BC時CN→0時，截面→等邊三角形，邊長為→$\sqrt{2}$，面積→$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又M，N分別是棱BC，CC₁上不與正方體頂點重合的動點，所以截面面積不存在最小值；故④錯誤；
故答案為：①②

點評 本題考查了正方體中線線關(guān)系以及截面形狀問題；關(guān)鍵是考查空間想象能力；屬于中檔題．