Question

10．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+|2x-4|，g（x）=|x-2|+1．
（1）a=0時，解不等式f（x）≥8；
（2）若對任意x₁∈R，存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=0時，把原不等式去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，分別求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得函數(shù)f（x）的值域是g（x）的值域的子集，求得g（x）的值域為[1，+∞），利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值為|a-4|，|根據(jù)a-4|≥1，求得a的范圍．

解答 解：（1）a=0時，不等式f（x）≥8，即|2x|+|2x-4|≥8，
等價于$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-2x+4-2x≥8}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤2}\\{2x+4-2x≥8}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{2x+2x-4≥8}\end{array}\right.$③．
解①求得 x≤-1，解②求得x∈∅，解③求得x≥3．
故不等式的解集為{x|x≤-1，或 x≥3}．
（2）若對任意x₁∈R，存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
則函數(shù)f（x）的值域是g（x）的值域的子集．
由于g（x）=|x-2|+1的值域為[1，+∞），
f（x）=|2x-a|+|2x-4|≥|2x-a-（2x-4）|=|a-4|，∴|a-4|≥1，∴a-4≥1，或 a-4≤-1，
求得a≥5，或a≤3，
故實數(shù)a的取值范圍為{a|a≥5，或a≤3}．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，絕對值三角不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．