Question

15．已知函數(shù)f（x）是定義域R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f（log₂a）+f（log₂$\frac{1}{a}$）≤2f（1），則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，2]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}，2$]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義域R在上的偶函數(shù)，
∴由f（log₂a）+f（log₂$\frac{1}{a}$）≤2f（1），得f（log₂a）+f（-log₂a）≤2f（1），
即f（log₂a）+f（log₂a）=2f（log₂a）≤2f（1），
則f（log₂a）≤f（1），
∵在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞增，
∴不等式等價(jià)為f（|log₂a|）≤f（1），
即|log₂a|≤1，則-1≤log₂a≤1，
得$\frac{1}{2}$≤a≤2，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．