Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{m•{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$-m（m∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）有零點，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若對任意的x∈[-1，0]都有f（x）≥0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把函數(shù)f（x）有零點轉化為關于x的方程m•4^x-m•2^x+1=0（m∈R）有解，令t=2^x（t＞0），于是有關于t的方程mt²-mt+1=0有正根．然后根據(jù)二次函數(shù)g（t）=mt²-mt+1的圖象恒過點（0，1），對稱軸為t=$\frac{1}{2}$，對m分類求解；
（2）對任意的x∈[-1，0]都有f（x）≥0成立，即$\frac{m•{4}^{x}+1}{{2}^{x}}-m≥0$，x∈[-1，0]，即m（4^x-2^x）+1≥0，當x∈[-1，0]時，恒有4^x≤2^x，$\frac{1}{2}≤{2}^{x}≤1$，可得當m≤0時，m（4^x-2^x）+1≥0恒成立；當m＞0時，$m（{4}^{x}-{2}^{x}）+1=m（{2}^{x}-\frac{1}{2}）+1-\frac{m}{4}≥1-\frac{m}{4}$，可得1-$\frac{m}{4}≥0$，從而求得m的取值范圍．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）有零點得，關于x的方程m•4^x-m•2^x+1=0（m∈R）有解，
令t=2^x（t＞0），于是有關于t的方程mt²-mt+1=0有正根．
設g（t）=mt²-mt+1，則函數(shù)g（t）的圖象恒過點（0，1），且對稱軸為t=$\frac{1}{2}$．
當m＜0時，g（t）的圖象開口向下，故g（t）=0恰有一正數(shù)解；
當m=0時，g（t）=1≠0，不合題意；
當m＞0時，g（t）的圖象開口向上，故g（t）=0有正數(shù)解的條件是g（$\frac{1}{2}$）=$1-\frac{m}{4}≤0$，
解得m≥4．
綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，0）∪[4，+∞）；
（2）對任意的x∈[-1，0]都有f（x）≥0成立，
即$\frac{m•{4}^{x}+1}{{2}^{x}}-m≥0$，x∈[-1，0]．
∵2^x＞0，故m（4^x-2^x）+1≥0，
又當x∈[-1，0]時，恒有4^x≤2^x，$\frac{1}{2}≤{2}^{x}≤1$，
故當m≤0時，m（4^x-2^x）+1≥0恒成立；
當m＞0時，$m（{4}^{x}-{2}^{x}）+1=m（{2}^{x}-\frac{1}{2}）+1-\frac{m}{4}≥1-\frac{m}{4}$．
當且僅當x=-1時取等號．
∴1-$\frac{m}{4}≥0$，得0＜m≤4．
綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，4]．

點評 本題考查恒成立問題，考查指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)得圖象和性質，函數(shù)的零點及不等式的應用，分類與整合思想、化歸與轉化思想，可推理論證能力與運算求解能力，屬難題．