Question

16．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DE=B₁F=$\frac{1}{3}$DD₁．求證：
（1）平面ACE⊥平面BB₁D₁D；
（2）平面EAC∥平面FA₁C₁．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥BD，AC⊥BB₁，從而AC⊥平面BB₁D₁D，由此能證明平面ACE⊥平面BB₁D₁D．
（2）推導出A₁C₁∥AC，A₁E$\underset{∥}{=}$FC，從而四邊形A₁ECF是平行四邊形，進而A₁F∥CE，由此能證明平面EAC∥平面FA₁C₁．

解答 證明：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∵BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BB₁D₁D，
∵AC?平面ACE，∴平面ACE⊥平面BB₁D₁D．
（2）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DE=B₁F=$\frac{1}{3}$DD₁，
∴A₁C₁∥AC，A₁E$\underset{∥}{=}$FC，
∴四邊形A₁ECF是平行四邊形，∴A₁F∥CE，
∵AC∩CE=C，A₁C₁∩A₁F=A₁，
AC、CF?平面EAC，A₁C₁、A₁F?平面FA₁C₁，
∴平面EAC∥平面FA₁C₁．

點評 本題考查面面垂直、面面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．