Question

11．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，過拋物線上一點P作拋物線C的切線l交x軸于點D，交y軸于點Q，當|FD|=2時，∠PFD=60°．
（1）判斷△PFQ的形狀，并求拋物線C的方程；
（2）已知點M（2，2），若拋物線上異于點P的不同兩點A，B滿足$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{BM}$=0，且經(jīng)過A，B，P三點的圓和拋物線在點P處有相同的切線，求P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）設P（x₁，y₁），求出切線l的方程，求解三角形的頂點坐標，排除邊長關(guān)系，然后判斷三角形的形狀，然后求解拋物線方程；
（2）求出A，B的坐標分別為（0，0），（4，4），設P（x₀，y₀）（x₀≠0，x₀≠4），求出AB的中垂線方程，AP的中垂線方程，解得圓心坐標，由${k}_{NP}•\frac{{x}_{0}}{2}=-1$，求解P點坐標即可．

解答 解：（1）設P（x₁，y₁），
則切線l的方程為y=$\frac{{x}_{1}}{p}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$，且${y}_{1}=\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$，
∴D（$\frac{{x}_{1}}{2}，0$），Q（0，-y₁），|FQ|=$\frac{p}{2}+{y}_{1}$，|PF|=$\frac{p}{2}+{y}_{1}$，∴|FQ|=|FP|，
∴△PFQ為等腰三角形，且D為PQ的中點，
∴DF⊥PQ，
∵|DF|=2，∠PFD=60°，∴∠QFD=60°，
∴$\frac{p}{2}=1$，得p=2，
則拋物線方程為x²=4y；
（2）由已知，得A，B的坐標分別為（0，0），（4，4），
設P（x₀，y₀）（x₀≠0，x₀≠4），
AB的中垂線方程為y=-x+4，①
AP的中垂線方程為y=-$\frac{4}{{x}_{0}}$x+2+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}$，②
聯(lián)立①②，解得圓心坐標為：N（-$\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}}{8}$，$\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}+32}{8}$），
k_NP=$\frac{\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}+32}{8}-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}}{-\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}}{8}-{x}_{0}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}-32}{{{x}_{0}}^{2}+12{x}_{0}}$，
由${k}_{NP}•\frac{{x}_{0}}{2}=-1$，得${{x}_{0}}^{3}-2{{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}=0$，
∵x₀≠0，x₀≠4，∴x₀=-2，
∴P點坐標為（-2，1）．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應用，直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．