Question

3．已知直線l₁：$\sqrt{3}$x+$\sqrt{10}$y-4=0為曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一條切線，直線l₂：x-2y-4=0為曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2^{2}}$=1的一條切線．求曲線C₁，C₂的方程．

Answer 1

分析 利用直線與橢圓相切，聯(lián)立方程組，通過(guò)判別式為0，得到a，b的方程，求解即可．

解答 解：直線l₁：$\sqrt{3}$x+$\sqrt{10}$y-4=0為曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一條切線，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+\sqrt{10}y-4=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
消去x化簡(jiǎn)可得：（3a²+10b²）y²-8$\sqrt{10}$b²y+16b²-3a²b²=0，
可得：△=$（-8\sqrt{10}^{2}）^{2}-4（3{a}^{2}+10^{2}）（16^{2}-3{a}^{2}^{2}）=0$，
化簡(jiǎn)可得3a²+10b²=16，…①；
直線l₂：x-2y-4=0為曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2^{2}}$=1的一條切線．
聯(lián)立方程組消去x化簡(jiǎn)可得：（2b²+a²）y²+8b²y+8b²-2a²b²=0，
△=（8b²）²-4（2b²+a²）（8b²-2a²b²）=0，
化簡(jiǎn)可得：a²+2b²=4，…②，
解：①②可得：a²=2，b²=1，
曲線C₁，C₂的方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．