Question

18．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是冷BC的中點，點F在冷CC₁上，且CF=2FC₁，P是側(cè)面四邊形BCC₁B₁內(nèi)一點（含邊界）．若A₁P∥平面AEF，則線段
A₁P長度的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{{\sqrt{29}}}{5}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}]$
• B． $[{\frac{{\sqrt{29}}}{5}，\frac{{\sqrt{13}}}{3}}]$
• C． $[{\frac{{3\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{13}}}{3}}]$
• D． $[{\frac{{3\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}]$

Answer 1

分析 取棱B₁C₁的中點N，在BB₁上取點M，使B₁M=2BM，連接MN，易證平面A₁MN∥平面AEF，由題意知點P必在線段MN上，由此可判斷P在M處時A₁P最長，A₁P⊥MN時最短，通過解直角三角形即可求得．

解答 解：如下圖所示：
取棱B₁C₁的中點N，在BB₁上取點M，使B₁M=2BM，連接MN，連接BC₁，
∵N、E為所在棱的中點，B₁M=2BM，CF=2FC₁
∴四邊形MNFE為平行四邊形，∴MN∥EF
∴A₁N∥AE，又A₁N∩MN=N，∴平面A₁MN∥平面AEF，
∵P是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)一點，且A₁P∥平面AEF，
則P必在線段MN上，AM=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，AN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，MN=$\frac{5}{6}$'
在△A₁MN中，由余弦定理求得cos∠MA_1N=$\frac{6}{\sqrt{65}}$，⇒sin∠MA_1N=$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{65}}$．
由面積相等得MN•h=A₁M•A₁Nsin∠MA₁N⇒h=$\frac{\sqrt{29}}{5}$，
則線段A₁P長度的取值范圍是[$\frac{\sqrt{29}}{5}，\frac{\sqrt{13}}{3}$]
故選：B

點評 本題考查點、線、面間的距離問題，考查學生的運算能力及推理轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題，解決本題的關鍵是通過構(gòu)造平行平面尋找P點位置．