Question

8．如圖，AD，CF是△ABC的兩條高，AD，CF相交于點(diǎn)H，AD的延長線與△ABC的外接圓⊙O相交于點(diǎn)G，AE是⊙O的直徑．
（1）求證：AB•AC=AD•AE；
（2）求證：DG=DH．

Answer 1

分析 （1）連接CE，證明△ADB∽△ACE，即可證明AB•AC=AD•AE；
（2）根據(jù)三角形高的定義得到∠BEC=90°，∠ADC=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠EBC=∠3，根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等得到∠CBG=∠3，則∠EBC=∠CBG，然后根據(jù)等腰三角形三線合一即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連接CE，
∵AE是⊙O的直徑，∴AC⊥CE，
∵AD是△ABC的兩條高，∴AD⊥BC，
∵∠B=∠E，
∴△ADB∽△ACE，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AB}$，
∴AB•AC=AD•AE；
（2）連接BG，
∵AD、BE、CF分別是△ABC三邊的高，H是垂心，
∴∠BEC=90°，∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=∠3+∠ACD，
∴∠EBC=∠3，
∵∠CBG=∠3，
∴∠EBC=∠CBG，
而BD⊥HG，
∴BD平分HG，
即DH=DG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，考查圓周角定理及其討論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；直徑所對(duì)的圓周角為直角．