Question

已知函數(shù)f（x）=，g（x）=-ax+1．
（1）曲線f（x）在x=1處的切線與直線3x-y=1平行，求a的值．
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）若a＞0，在區(qū)間（1，]至少存在一個實數(shù)x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=a²x²-2ax
則f′（1）=3即a²-2a-3=0，（a-3）（a+1）=0
解得a=-1或a=3；

（2）當a≠0時，f′（x）=a²x（x-）
①a＞0時，當x∈（-∞，0），f′（x）＞0；，f′（x）＜0；＜x時，f′（x）＞0
②a＜0時，當x∈（-∞，），f′（x）＞0；＜x＜0時，f′（x）＜0；x＞0時，f′（x）＞0
而當a=0時，f（x）=，函數(shù)f（x）無單調(diào)性．
綜上，a=0時f（x）無單調(diào)性；a＞0時，f（x）在（-∞，0）單調(diào)增，在（0，）上單調(diào)減，（，+∞）上單調(diào)增；
a＜0時，f（x）在（-∞，-）單調(diào)增，在（-，0）上單調(diào)減，（0，+∞）上單調(diào)增；

（3）令F（x）=f（x）-g（x）=a²x³-ax²+ax-，則F′（x）=a²x²-2ax+a=a（ax²-2x+1）=a[ax²+（1-2x）]
∵a＞0，x∈（0，]
∴F′（x）＞0∴F（x）在（0，]上單調(diào)遞增，所以F（x）_max=F（）
若存在x₀∈（0，]使f（x₀）＞g（x₀）成立，只需F（x）_max＞0即F（）＞0．
代入得a²-a+a•-＞0
化簡得a²+6a-8＞0，
解得a＞-3+或a＜-3-（舍去）
∴a的范圍是（-3+，+∞）．
分析：（1）求出f′（x），因為直線3x-y=1的斜率為3，曲線f（x）在x=1處的切線與直線3x-y=1平行，得到f′（1）=3，即可得到關于a的一元二次方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）當a等于0時，得到f（x）等于常數(shù)為增減性；當a不等于0時，把導函數(shù)分解因式，求出導函數(shù)為0時x的值，利用x的值討論導函數(shù)的正負即可得到相應范圍函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設F（x）等于f（x）-g（x），求出F′（x）判斷其符號在區(qū)間（1，]上恒大于0得到F（x）為增函數(shù)，所以F（x）的最大值為F（），要使存在一個實數(shù)x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立即要F（）大于0，代入列出關于a的不等式，求出解集即可得到a的范圍．
點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的增減性及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，是一道比較難的題．