Question

【題目】已知是橢圓C： 上一點，點P到橢圓C的兩個焦點的距離之和為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設A，B是橢圓C上異于點P的兩點，直線PA與直線交于點M，

是否存在點A，使得？若存在，求出點A的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在點A（， ），使得.

【解析】試題分析：（Ⅰ）橢圓過點P（0,1）可得b=1，由點P到兩焦點距離和為，可得，進而可得結果；（Ⅱ）設，依題意得：直線的斜率存在，

則直線的方程為： ，又等價于且點A在y軸的右側，

從而， 從而可得結果.

.

試題解析：

（Ⅰ）由橢圓C： 過點P（0,1）可得b=1，

又點P到兩焦點距離和為，可得，

所以橢圓C的方程.

（Ⅱ）設A（m,n），依題意得：直線PA的斜率存在，

則直線PA的方程為： ，

令x=4， ，即M，

又等價于且點A在y軸的右側，

從而，

因為點A在y軸的右側，

所以 ， 解得 ,

由點A在橢圓上，解得： ,

于是存在點A（， ），使得.

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的標準方程以及解析幾何中的存在性問題，屬于難題.解決存在性問題，先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在，注意：①當條件和結論不唯一時要分類討論；②當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；③當條件和結論都不知，按常規(guī)方法題很難時采取另外的途徑.