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10.已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a,b∈R)在x=2處的切線方程為y=9x-14.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)已知函數(shù)g(x)=-ex+k2+4k,若對任意的x1∈[0,2],總存在x2∈[0,2],使得f(x1)<g(x2)成立,求實數(shù)k的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求導函數(shù),利用f(x)在x=2處的切線方程為y=9x-14,建立方程,求a,b的值;
(Ⅱ)求出函數(shù)的解析式,利用導數(shù)的正負可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;對任意x1∈[0,2],均存在x2∈[0,2]l,使得f(x1)<g(x2)成立,有f(x)max<g(x)max,求出相應函數(shù)的最值,即可求得實數(shù)k的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)求導函數(shù)可得f′(x)=3x2-3a,
∵f(x)在x=2處的切線方程為y=9x-14,
{f2=86a+b=4f2=123a=9,∴a=1,b=2,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3-3x+2
∴f′(x)=3(x+1)(x-1),
由f′(x)>0,得x<-1或x>1;由f′(x)<0,得-1<x<1.
故函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,1);單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1),(1,+∞).
∴函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,2)上單調(diào)遞增,
又f(0)=2,f(2)=4,有f(0)<f(2),
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值f(x)max=f(2)=4.
又g(x)=-ex+k2+4k
∴g′(x)=-ex,
∴函數(shù)g(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,最大值為g(x)max=g(0)=k2+4k-1
因為對任意x1∈[0,2],均存在x2∈[0,2]l,使得f(x1)<g(x2)成立,
所以有f(x)max<g(x)max,則4<k2+4k-1,
∴k>1或k<-5.
故實數(shù)k的取值范圍是(-∞,-5)∪(1,+∞).

點評 本題考查導數(shù)知識的運用,考查導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的最值,解題的關鍵是將問題轉(zhuǎn)化為f(x)max<g(x)max,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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