Question

5．如圖，點F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，橢圓E上任意一點到左焦點的距離的取值范圍為[2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，直線l：y=kx+1與橢圓相交于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）若Q（0，2），是否存在實數(shù)k，使得△ABQ的面積為$\frac{4}{3}$？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由橢圓E上任意一點到左焦點的距離的取值范圍為[2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，可得a-c=2$-\sqrt{2}$，a+c=2+$\sqrt{2}$，聯(lián)立解得a，c，進而得到b²=a²-c²，即可得出．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+2k²）x²+4kx-2=0，利用根與系數(shù)的關系可得|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．點Q到直線l的距離d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．利用S_△QAB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{4}{3}$，解出即可判斷出距離．

解答 解：（I）∵橢圓E上任意一點到左焦點的距離的取值范圍為[2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，
∴a-c=2$-\sqrt{2}$，a+c=2+$\sqrt{2}$，聯(lián)立解得a=2，c=$\sqrt{2}$，∴b²=a²-c²=2．
∴橢圓E的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（1+2k²）x²+4kx-2=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-2}{1+2{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{16{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}+\frac{8}{1+2{k}^{2}}]}$=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+4{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$．
點Q到直線l的距離d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△QAB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+4{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{1+4{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
化為：32k⁴-4k²-1=0，
解得4k²=1，k=$±\frac{1}{2}$．
因此存在實數(shù)k=$±\frac{1}{2}$，使得△ABQ的面積為$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．