設(shè)函數(shù),其中,為正整數(shù),,,均為常數(shù),曲線在處的切線方程為.
(1)求,,的值;
(2)求函數(shù)的最大值;
(3)證明:對(duì)任意的都有.(為自然對(duì)數(shù)的底)
(1);(2);(3)見解析.
解析試題分析:(1)在切點(diǎn)處的的函數(shù)值 ,就是切線的斜率為,可得;根據(jù)切點(diǎn)適合切線方程、曲線方程,可得,.
(2)求導(dǎo)數(shù),求駐點(diǎn),討論區(qū)間函數(shù)單調(diào)性,確定最值.
(3)本小題有多種思路,一是要證對(duì)任意的都有只需證;
二是令,利用導(dǎo)數(shù)確定,
轉(zhuǎn)化得到.
令,證明.
(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2a/2/qqhte1.png" style="vertical-align:middle;" />, 1分
所以 ,又因?yàn)榍芯的斜率為,所以 2分
,由點(diǎn)(1,c)在直線上,可得,即 3分
4分
(2)由(1)知,,所以
令,解得,即在(0,+上有唯一零點(diǎn) 5分
當(dāng)0<<時(shí),,故在(0,)上單調(diào)遞增; 6分
當(dāng)>時(shí),,故在(,+上單調(diào)遞減; 7分
在(0,+上的最大值=== 8分
(3)證法1:要證對(duì)任意的都有只需證
由(2)知在上有最大值,= ,故只需證 9分
,即
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知二次函數(shù)f(x)=x2+2bx+c(b、c∈R).
(1)若f(x)≤0的解集為{x|-1≤x≤1},求實(shí)數(shù)b、c的值;
(2)若f(x)滿足f(1)=0,且關(guān)于x的方程f(x)+x+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間(-3,-2),(0,1)內(nèi),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
定義函數(shù)(為定義域)圖像上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為函數(shù)的的模.若模存在最大值,則稱之為函數(shù)的長(zhǎng)距;若模存在最小值,則稱之為函數(shù)的短距.
(1)分別判斷函數(shù)與是否存在長(zhǎng)距與短距,若存在,請(qǐng)求出;
(2)求證:指數(shù)函數(shù)的短距小于1;
(3)對(duì)于任意是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)的短距不小于2,若存在,請(qǐng)求出的取值范圍;不存在,則說明理由?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(a是常數(shù),a∈R)
(1)當(dāng)a=1時(shí)求不等式的解集.
(2)如果函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=,x∈,.
(1) 當(dāng)a=時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;
(2) 若函數(shù)的最小值為4,求實(shí)數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如果函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)于定義域內(nèi)的任意,存在實(shí)數(shù)使得成立,則稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”。
(1)判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”,若具有“性質(zhì)”,求出所有的值;若不具有“性質(zhì)”,說明理由;
(2)已知具有“性質(zhì)”,且當(dāng)時(shí),求在上有最大值;
(3)設(shè)函數(shù)具有“性質(zhì)”,且當(dāng)時(shí),.若與交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2013,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)對(duì)任意都滿足,且,數(shù)列滿足:,.
(Ⅰ)求及的值;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)若,試問數(shù)列是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)?若存在,求出最大項(xiàng)和最小項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已函數(shù).
(1)作出函數(shù)的圖像;
(2)若對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式有解,求實(shí)數(shù)m的取值菹圍;
(3)證明:當(dāng)a=0時(shí),.
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