Question

如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形， ，，，且平面平面．

(1)求與平面所成角的正弦值；

(2)線段上是否存在點，使平面平面？

證明你的結論．

 

 

Answer 1

(1) ， (2)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)利用空間向量求線面角，關鍵求出面的一個法向量. 先由面面垂直得到線面垂直，即由平面面， 得平面．建立空間直角坐標系，表示各點坐標，得 ，設平面的法向量為，則有所以 取，得．根據(jù)與平面所成的角正弦值等于與平面法向量夾角余弦值的絕對值，得到與平面所成角的正弦值為． (2) 假設線段上存在點，設 ，可求出平面的一個法向量．要使平面平面，只需，即 ，此方程無解，所以線段上不存在點，使平面平面．

(1)因為，，

在△中，由余弦定理可得 ，

所以 ． 又因為

平面面， 所以平面．

所以兩兩互相垂直，

如圖建立空間直角坐標系．

設，所以．

所以 ，，．

設平面的法向量為，則有

所以 取，得．

設與平面所成的角為，則 ，

所以 與平面所成角的正弦值為．

(2)線段上不存在點，使平面平面．證明如下：

假設線段上存在點，設 ，所以．

設平面的法向量為，則有

所以 取 ，得．

要使平面平面，只需，即 ，

此方程無解，所以線段上不存在點，使平面平面．

考點：利用空間向量求線面角