Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ⁺¹，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

(n+1)log2an

+n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=4，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n+1-2n =2ⁿ，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，b1=

1

2log24

+1=

5

4

，T1=

5

4

；當(dāng)n≥2時(shí)，bn=

1

(n+1)log22n

+n=

1

n

-

1

n+1

+n，由此利用分組求和法和裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=4，…（2分）
由S_n=2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2ⁿ，n≥2，
∴a_n=S_n-S_n-1=2n+1-2n =2ⁿ，n≥2．
∴an=

4，n=1 2n，n≥2

．…（6分）
（2）當(dāng)n=1時(shí)，b1=

1

2log24

+1=

5

4

，∴T1=

5

4

，…（7分）
當(dāng)n≥2時(shí)，
bn=

1

(n+1)log22n

+n
=

1

n(n+1)

+n=

1

n

-

1

n+1

+n，…（9分）
Tn=

5

4

+(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)+（2+3+4+…+n）
=

1

4

+（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)+（1+2+3+4+…+n）
=

3

4

-

1

n+1

+

n(n+1)

2

，…（11分）
上式對(duì)于n=1也成立，
∴T_n=

3

4

-

1

n+1

+

n(n+1)

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查為數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．