Question

14．已知點$D（1，\sqrt{2}）$在雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$上，且雙曲線的一條漸近線的方程是$\sqrt{3}x+y=0$．（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點（0，1）且斜率為k的直線l與雙曲線C交于A、B兩個不同點，若以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）點$D（1，\sqrt{2}）$代入雙曲線方程，結合且雙曲線的一條漸近線的方程是$\sqrt{3}$x+y=0，建立方程，求出a，b，即可求雙曲線C的方程；
（2）直接聯(lián)立直線與雙曲線方程，化為關于x的一元二次方程，存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點轉化為$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根與系數(shù)關系求解實數(shù)k的值．

解答 解：（1）由題知，有$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{a^2}-\frac{2}{b^2}=1}\\{\frac{a}=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=\frac{1}{3}}\\{{b^2}=1}\end{array}}\right.$，
因此，所求雙曲線C的方程是$\frac{x^2}{{\frac{1}{3}}}-\frac{y^2}{1}=1$．
（2）∵直線l過點（0，1）且斜率為k，∴直線l：y=kx+1，
聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{3{x^2}-{y^2}=1}\\{y=kx+1}\end{array}}\right.$，得（3-k²）x²-2kx-2=0，①
設交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由①可得x₁+x₂=$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$，
又以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，因此，OA⊥OB（O為坐標原點）．
于是，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，$\frac{{-2（1+{k^2}）}}{{3-{k^2}}}+\frac{{2{k^2}}}{{3-{k^2}}}+1=0$，解得k=±1．
又k=±1滿足3-k²≠0，且△＞0，
所以，所求實數(shù)k=±1．

點評 本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，訓練了利用直線斜率的關系判斷兩直線的垂直關系，是中檔題．