Question

19．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，若E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（3）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線的性質(zhì)，可得線線平行，進(jìn)而可得線面平行；
（2）先證明線面垂直，再證明面面垂直即可；
（3）過(guò)點(diǎn)P作AD的垂線PG，垂足為點(diǎn)G，利用體積公式，即可求四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （1）證明：連接EF，AC，
∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形且點(diǎn)F為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，
∴對(duì)角線AC經(jīng)過(guò)F點(diǎn)，又點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，
∴EF為△PAC的中位線，∴EF∥PA．
又PA?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD．  …（4分）
（2）證明：∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，∴CD⊥AD，
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥平面PAD．
又CD?平面PCD，∴平面PDC⊥平面PAD．       …（8分）
（3）解：過(guò)點(diǎn)P作AD的垂線PG，垂足為點(diǎn)G，
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PG?平面PAD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，即PG為四棱錐P-ABCD的高，
又PA=PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD且AD=a，∴PG=$\frac{a}{2}$．
∴V_{四棱錐P-ABCD}=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}•PG=$\frac{1}{3}$×a²×$\frac{a}{2}$=$\frac{1}{6}$a³．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、面面垂直，考查求四棱錐P-ABCD的體積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．