Question

9．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{10}x+1，x≤1\\ lnx-1，x＞1\end{array}\right.$，則方程f（x）=ax恰有一個實根時，實數a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1]∪[1.1，+∞）∪{$\frac{1}{e^2}$}
• B． $（-1，\frac{1}{10}）$
• C． $（{-1，0}]∪（\frac{1}{10}，\frac{1}{e^2}）$
• D． $（-1，\frac{1}{e^2}）$

Answer 1

分析 由題意，方程f（x）=ax恰有一個實根，等價于y=f（x）與y=ax有1個交點，求出a的取值范圍．

解答 解：當x≤1時f（x）=$\frac{1}{10}$x+1，
∴$\frac{1}{10}$x+1=ax，
∴a=$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{x}$，
令g（x）=$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{x}$，
∵x≤1 又g（x）在（-∞，0）和（0，1）上都是單調遞減的，
∴g（x）在x≤1上的值域是（-∞，0）∪[1.1，+∞），
當x＞1時，f（x）=lnx-1=ax，得到a=$\frac{lnx-1}{x}$，
令h（x）=$\frac{lnx-1}{x}$，
∵x＞1，∴h′（x）=$\frac{2-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得到2-lnx=0 得到x=e²，
∴h（x）在x屬于（1，e²）上單調增，在（e²，+∞）上單調減，
∴h（x）的最大值為h（e²）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∵當x＜e時，lnx-1＜0，而x趨向正無窮時，h（x）趨向0，
∴h（x）的最小值為h（1）=-1（但是開區(qū)間 因為x＞1），
∴h（x）的值域是（-1，$\frac{1}{{e}^{2}}$），
∵f（x）=ax恰有一個實根，
∴a∈（-∞，-1]∪[1.1，+∞）∪{$\frac{1}{{e}^{2}}$}，
故選：A

點評 本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，以及分類討論的思想，以及函導數數與函數最值問題，進行解答，是易錯題．