Question

13．已知拋物線x²=4y的焦點為F，準線為l，經(jīng)過l上任意一點P作拋物線x²=4y的兩條切線，切點分別為A、B．
（1）求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過點P；
（2）比較$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FB}$與 ${\overrightarrow{PF}^2}$的大�。�

Answer 1

分析 （1）l的方程為y=-1．設P（a，-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通過${y_1}=\frac{1}{4}{x_1}^2，{y_2}=\frac{1}{4}{x_2}^2$．求出導數(shù)，得到${k_{PA}}=\frac{1}{2}{x_1}$，結合${k_{PA}}=\frac{{{y_1}+1}}{{{x_1}-a}}$，推出${x_1}^2-2a{x_1}-4=0$．說明x₁，x₂為方程x²-2ax-4=0的根．利用x₁+x₂，x₁x₂，化簡$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{{x_1}-a，{y_1}+1}）•（{{x_2}-a，{y_2}+1}）$，推出PA⊥PB，得到以AB為直徑的圓經(jīng)過點P．
（2）求出F（0，1）．利用（1）計算$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FB}$，求出 ${\overrightarrow{PF}^2}$的值，即可得到結果．

解答 解：（1）證明：根據(jù)已知得l的方程為y=-1．
設P（a，-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且${y_1}=\frac{1}{4}{x_1}^2，{y_2}=\frac{1}{4}{x_2}^2$．
由$y=\frac{1}{4}{x^2}$得$y'=\frac{x}{2}$，從而${k_{PA}}=\frac{1}{2}{x_1}$，∵${k_{PA}}=\frac{{{y_1}+1}}{{{x_1}-a}}$，
∴$\frac{1}{2}{x_1}=\frac{{{y_1}+1}}{{{x_1}-a}}，{y_1}=\frac{1}{4}{x_1}^2$，
化簡得${x_1}^2-2a{x_1}-4=0$．同理可得$x_2^2-2a{x_2}-4=0$．
∴x₁，x₂為方程x²-2ax-4=0的根．∴x₁+x₂=2a，x₁x₂=-4．
∵$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{{x_1}-a，{y_1}+1}）•（{{x_2}-a，{y_2}+1}）$=（x₁-a）（x₂-a）+（y₁+1）（y₂+1）
=${x_1}{x_2}-a（{{x_1}+{x_2}}）+{a^2}+\frac{{{{（{{x_1}{x_2}}）}^2}}}{16}+\frac{x_1^2}{4}+\frac{x_2^2}{4}+1=-4-2{a^2}+{a^2}+1+\frac{1}{4}[{4{a^2}+8}]+1=0$，
∴$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PB}$，即PA⊥PB，
∴以AB為直徑的圓經(jīng)過點P．
（2）根據(jù)已知得F（0，1）．
∵$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FB}$=（-x₁，1-y₁）•（x₂，y₂-1）=-x₁x₂-y₁y₂+（y₁+y₂）-1
=$-{x}_{1}{x}_{2}-\frac{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}{16}+\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{{x}_{1}x}_{2}}{4}$-1
又由（1）知：x₁+x₂=2a，x₁x₂=-4，
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FB}=4+{a^2}$，
∵${\overrightarrow{PF}^2}={a^2}+4$，
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FB}={\overrightarrow{PF}^2}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用，向量的數(shù)量積，拋物線與函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力．