如圖,有一塊邊長(zhǎng)為15 cm的正方形鐵皮,將其四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x cm的小正方形,然后折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子.
(1)求出盒子的體積y以x為自變量的函數(shù)解析式,并討論這個(gè)函數(shù)的定義域;
(2)如果要做一個(gè)容積是150 cm3的無(wú)蓋盒子,那么截去的小正方形的邊長(zhǎng)x是多少(精確到0.1 cm)?
解:(1)盒子的體積y是以x為自變量的函數(shù). 解析式為:y=(15-2x)2·x,x∈(0,7.5). (2)如果要做成一個(gè)容積是150 cm3的無(wú)蓋盒子,那么有方程(15-2x)2·x=150. 下面用二分法來(lái)求方程在(0,7.5)內(nèi)的近似解. 令f(x)=(15-2x)2x-150,由計(jì)算器可以確定f(x)分別在(0,1)和(4,5)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),即方程(15-2x)2·x=150分別在區(qū)間(0,1)和(4,5)內(nèi)各有一個(gè)解. 取區(qū)間(0,1)的中點(diǎn)x1=0.5,計(jì)算得f(0.5)=-52,所以零點(diǎn)x0∈(0.5,1). 再取(0.5,1)的中點(diǎn)x2=0.75,計(jì)算得f(0.75)≈-13.31,所以x0∈(0.75,1). 同理可得x0∈(0.75,0.875);x0∈(0.812 5,0.875);x0∈(0.843 75,0.875); x0∈(0.843 75,0.859 375);x0∈(0.843 75,0.851 562 5);x0∈(0.843 75,0.847 656 25). 所以方程在區(qū)間(0.1)內(nèi)精確到0.1的近似解為0.8.同理可得方程在區(qū)間(4,5)內(nèi)精確到0.1的近似值為4.7,所以要做成一個(gè)容積為150 cm3的無(wú)蓋盒子時(shí),截去小正方形的邊長(zhǎng)大約是0.8 cm或4.7 cm. |
本題是用二分法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的例子,在遇到高次方程或較復(fù)雜的指數(shù)、對(duì)數(shù)方程的數(shù)學(xué)模型時(shí),在一定的誤差范圍內(nèi)可用二分法. |
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