Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x|•e^x（x≠0），其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，關(guān)于x的方程$f（x）+\frac{2}{f（x）}-λ=0$有四個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（　�。�

• A． $（{0，\frac{1}{e}}）$
• B． $（{2\sqrt{2}，+∞}）$
• C． $（{e+\frac{2}{e}，+∞}）$
• D． $（{2e+\frac{1}{e}，+∞}）$

Answer 1

分析 寫出分段函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和極值，畫(huà)出圖形的大致形狀，結(jié)合關(guān)于x的方程$f（x）+\frac{2}{f（x）}-λ=0$有四個(gè)相異實(shí)根列式求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：f（x）=|x|•e^x=$\left\{\begin{array}{l}{x•{e}^{x}，x＞0}\\{-x•{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$．
當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=x•e^x，得f′（x）=e^x+x•e^x=e^x（x+1）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=-x•e^x，得f′（x）=-e^x-x•e^x=-e^x（x+1）．
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＜0，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值為f（-1）=$\frac{1}{e}$．
作出函數(shù)f（x）=|x|•e^x（x≠0）的圖象的大致形狀：

令f（x）=t，則方程$f（x）+\frac{2}{f（x）}-λ=0$化為$t+\frac{2}{t}-λ=0$，
即t²-λt+2=0，
要使關(guān)于x的方程$f（x）+\frac{2}{f（x）}-λ=0$有四個(gè)相異實(shí)根，
則方程t²-λt+2=0的兩根一個(gè)在（0，$\frac{1}{e}$），一個(gè)在（$\frac{1}{e}，+∞$）之間．
則$\frac{1}{{e}^{2}}-\frac{λ}{e}+2＜0$，解得λ＞2e+$\frac{1}{e}$．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（2e+$\frac{1}{e}$，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查利用導(dǎo)數(shù)求極值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．