14.A,B,C,D是同一球面上的四個(gè)點(diǎn),△ABC中,$∠BAC=\frac{2π}{3}$,AB=AC,AD⊥平面ABC,AD=6,$AB=2\sqrt{3}$,則該球的表面積為84π.

分析 把A、B、C、D擴(kuò)展為三棱柱,上下底面中心連線的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑,求出半徑即可求解球的表面積.

解答 解:由題意,設(shè)△ABC外接圓的圓心為E,球心為O,
把A、B、C、D擴(kuò)展為三棱柱,
AD=6,AB=AC=2$\sqrt{3}$,OE=3,
△ABC中,BC=$\sqrt{12+12-2×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×(-\frac{1}{2})}$=6,
∴AE=$\frac{1}{2}×\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$,∴球半徑AO=$\sqrt{12+9}$=$\sqrt{21}$.
所求球的表面積S=4π($\sqrt{21}$)2=84π.
故答案為:84π.

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積的求法,球的內(nèi)接體問(wèn)題,考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

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