Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，其中$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1）．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的值； 
（2）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量坐標(biāo)的基本運算進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，其中$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1）．
∴$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（3，0）-（0，4）=（3，-4），$\overrightarrow$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，0）+（0，1）=（1，1），
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=3×1-4×1=-1，
$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（4，-3），則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}$=5； 
（2）cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{-1}{5×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量坐標(biāo)的基本公式以及向量數(shù)量積是解決本題的關(guān)鍵．