Question

17．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{3}$，則橢圓和雙曲線離心率倒數(shù)之和的最大值為（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• C． 4
• D． $\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)和關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a，雙曲線的實(shí)半軸為a₁，（a＞a₁），半焦距為c，
由橢圓和雙曲線的定義可知，
設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，|F₁F₂|=2c，
橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁，e₂
∵∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，則由余弦定理可得4c²=（r₁）²+（r₂）²-2r₁r₂cos$\frac{π}{3}$，①
在橢圓中，①化簡(jiǎn)為即4c²=4a²-3r₁r₂…②，
在雙曲線中，①化簡(jiǎn)為即4c²=4a₁²+r₁r₂…③，
$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4，
由柯西不等式得（1+$\frac{1}{3}$）（$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$）=（$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{\sqrt{3}}{{e}_{2}}$×$\frac{1}{\sqrt{3}}$）²
∴$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，利用余弦定理和柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵．屬于難題．