Question

16．橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的長(zhǎng)軸為A₁A₂，短軸為B₁B₂，將坐標(biāo)平面沿y軸折成一個(gè)二面角，使A₁點(diǎn)在平面B₁A₂B₂上的射影恰好是該橢圓的右焦點(diǎn)，則此二面角的大小為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 75°

Answer 1

分析 由已知中橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的長(zhǎng)軸為A₁A₂，短軸為B₁B₂，將坐標(biāo)平面沿y軸折成一個(gè)二面角，使點(diǎn)A₁在平面B₁A₂B₂上的射影恰是該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，可以畫(huà)出滿足條件的圖象，利用圖象的直觀性，分析出∠FOA₁即為所求二面角的平面角，解三角形FOA₁即可求出二面角的大小．

解答 解：由題意畫(huà)出滿足條件的圖象如下圖所示：

由圖可得∠FOA₁即為所求二面角的平面角，
∵橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
則OA₁=2，OF=$\sqrt{4-3}=1$，
由題意可知，△A₁FO是以∠A₁FO為直角的直角三角形，
∴cos∠FOA₁=$\frac{OF}{O{A}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴∠FOA₁=60°．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，其中根據(jù)已知條件畫(huà)出滿足條件的圖象，結(jié)合圖象分析出滿足條件的二面角的平面角是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．