Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，則S₂₀=（　�。�

• A． 1024
• B． 1086
• C． 2048
• D． 3069

Answer 1

分析 由a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，得當(dāng)n=1時(shí)，a₂=2，當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}=\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}=2$，數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比為2，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出結(jié)果．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₂=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}=\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}=2$，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比為2，
∴S₂₀=（a₁+a₃+…+a₁₉）+（a₂+a₄+…+a₂₀）
=$\frac{1×（1-{2}^{10}）}{1-2}$+$\frac{2×（1-{2}^{10}）}{1-2}$
=3069．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前20項(xiàng)和的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．