Question

15．點P是曲線y=x²-ln x上任意一點，則點P到直線4x+4y+1=0的最短距離是$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}ln2$．

Answer 1

分析 由題意知，當曲線上過點P的切線和直線4x+4y+1=0平行時，點P到直線4x+4y+1=0的距離最小．求出曲線對應的函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)值等于-1，可得切點的坐標，此切點到直線4x+4y+1=0的距離即為所求．

解答 解：點P是曲線y=x²-lnx上任意一點，
當過點P的切線和直線4x+4y+1=0平行時，
點P到直線4x+4y+1=0的距離最�。�
直線4x+4y+1=0的斜率等于-1，
令y=x²-lnx的導數(shù)y′=2x-$\frac{1}{x}$=-1，
解得x=-1（舍去），或 x=$\frac{1}{2}$，
故曲線y=x²-lnx上和直線4x+4y+1=0平行的切線經(jīng)過的切點坐標（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$-ln2），
點（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$-ln2）到直線4x+4y+1=0的距離等于$\frac{|2+1-4ln2+1|}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}ln2$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}ln2$．

點評 本題考查點到直線的距離公式的應用，函數(shù)的導數(shù)的求法及導數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．