Question

對于正整數n≥2，用T_n表示關于x的一元二次方程x²+2ax+b=0有實數根的有序數組（a，b）的組數，其中a，b∈{1，2，…，n²}（a和b可以相等）；對于隨機選取的a，b∈{1，2，…，n}（a和b可以相等），記P_n為關于x的一元二次方程x²+2ax+b=0有實數根的概率．
（1）求T n2和P n2；
（2）求證：對任意正整數n≥2，有P_n＞1-

1

n

．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）若方程x²+2ax+b=0有實數根，即△=4a²-4b≥0，即b≤a²，分①當n≤a≤n²時，和②當1≤a≤n-1時，兩種情況討論，進而可得T n2和P n2；
（2）若證對任意正整數n≥2，有P_n＞1-

1

n

．只需要證明：對于隨機選取的a，b∈{1，2，…，n}，方程x²+2ax+b=0無實數根的概率1-P_n＜

1

n

，進而可得答案．

解答： 解：（1）∵方程x²+2ax+b=0有實數根，
∴△=4a²-4b≥0，
即b≤a²，
①當n≤a≤n²時，有n²≤a²，
又b∈{1，2，…，n}
故總有b≤a²，
此時a有n²-n+1種取法，b有n²種取法，
所以共有（n²-n+1）n²組有序數組（a，b）滿足條件；
②當1≤a≤n-1時，滿足1≤b≤a²的b有a²種取法，
故共有1²+2²+3²+…+（n-1）²=

n(n-1)(2n-1)

6

組有序數組（a，b）滿足條件；
由①②可得：T n2=（n²-n+1）n²+

n(n-1)(2n-1)

6

=

n(6n3-4n2+n+1)

6

P n2=

Tn2

n4

=

6n3-4n2+n+1

6n3

；
證明：（2）若證對任意正整數n≥2，有P_n＞1-

1

n

．
只需要證明：對于隨機選取的a，b∈{1，2，…，n}，方程x²+2ax+b=0無實數根的概率1-P_n＜

1

n

．
若方程x²+2ax+b=0無實數根，
則△=4a²-4b＜0，
即b＞a²，
由b≤n得：a＜

n

，
因此，滿足b＞a²的有序數組（a，b）的組數小于n

n

，
從而方程x²+2ax+b=0無實數根的概率1-P_n＜

n n

n2

=

1

n

．
所以，對任意正整數n≥2，有P_n＞1-

1

n

．

點評：本題考查的知識點是概率與統(tǒng)計，一元二次方程根的個數與△的關系，分析法證明，是概率與方程的綜合運用，難度中檔．