Question

敘述拋物線的定義，并推導(dǎo)拋物線的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)拋物線的定義可得結(jié)論，再建立坐標(biāo)系，即可求得拋物線的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：（1）定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不過F）的距離相等的點(diǎn)的集合叫做拋物線．這個(gè)定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
（2）過點(diǎn)F作直線l的垂線，垂足為K．以線段FK的重點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線FK為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖．
設(shè)|FK|=p（p＞0），則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(

p

2

，0)，準(zhǔn)線l的方程為x=-

p

2

．
設(shè)M（x，y）是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到l的距離為d．
則|MF|=d．即

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|
化簡(jiǎn)得：y²=2px（p＞0）
所以，所求標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的定義，比較基礎(chǔ)．