Question

11．在四面體A-BCD中，棱長為4，M是BC的中點，點P在線段AM上運動，（點P不與A，M重合），過點P做直線l⊥平面ABC，l與平面BCD交于點Q．給出下列命題，其中正確的是①②
①BC⊥平面AMD
②點Q一定在直線DM上
③V_C-AMD=4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用線面垂直的判定判斷①；由面面垂直的判定得到平面ABC⊥平面AMD，再由面面垂直的性質判斷②；直接求出V_C-AMD判斷③．

解答 解：如圖，

∵四面體A-BCD的所有棱長相等，
∴四面體為正四面體，
又M為BC的中點，
∴AM⊥BC，DM⊥BC，則BC⊥平面AMD，故①正確；
∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面AMD，又平面AMD∩平面ABC=AM，且PQ⊥AM，
由平面與平面垂直的性質可得，PQ?平面AMD，則點Q一定在直線DM上，故②正確；
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=4\sqrt{3}$，四棱錐的高h=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{4}{3}\sqrt{3}）^{2}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
∴V_C-AMD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×$$\frac{4\sqrt{6}}{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，故③錯誤．
∴正確的命題是①②．
故答案為：①②．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查棱錐的結構特征，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．