Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（3）若在區(qū)間上恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是（2）見解析（3）1

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的減區(qū)間. (2) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值，需要分類討論. (3)利用第(2)問的結(jié)論，即，求出a的最大值.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，.

令.

所以 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）.

令，由，解得.

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù).

所以 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；

當(dāng)，即時(shí)，x在上變化時(shí)，的變化情況如下表

x	1
	0	+	0	_
f(x)			極大值

所以 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.

（3）由（Ⅱ）可知：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立；

當(dāng)時(shí)，由于在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以 ,即在區(qū)間上存在使得.

綜上所述，a的最大值為1.