Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M在棱BB1上，兩條直線MA，MC與平面ABCD所成角均為θ，AC與BD交于點(diǎn)O．
（1）求證：AC⊥OM；
（2）當(dāng)M為BB1的中點(diǎn)，且θ= 時(shí)，求二面角A﹣D1M﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵M(jìn)B⊥面ABCD，直線MA，MC與平面ABCD所成角均為θ，∴∠MAB=∠MCB=θ．

故△MBA≌MBC，BA=BC．

∴四邊形ABCD為正方形，AC⊥DB，又AC⊥MB，DB∩MB=B

∴AC⊥面BDM，即AC⊥OM

（2）解：θ= 時(shí)，則有AB=BC=MB，延長(zhǎng)D1M，DB交于點(diǎn)點(diǎn)H，

過(guò)點(diǎn)O作ON⊥D1H于點(diǎn)N，連接AN，則∠ANO為二面角A﹣D1M﹣B的平面角．

設(shè)AB=1，由△D1DH∽△ONH易得ON= ，AO= ，

tan∠ANO= ，∴∠ANO=30°

二面角A﹣D1M﹣B1的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由 MC與平面ABCD所成角均為θ，得∠MAB=∠MCB=θ．BA=BC．四邊形ABCD為正方形，即可得AC⊥面BDM，即AC⊥OM．（Ⅱ） θ= 時(shí)，則有AB=BC=MB，延長(zhǎng)D1M，DB交于點(diǎn)點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥D1H于點(diǎn)N，連接AN，則∠ANO為二面角A﹣D1M﹣B的平面角，利用平面幾何知識(shí)即可求解．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．