Question

1．已知${（x+\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^n}$的展開(kāi)式前兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為9．
（1）求n的值．
（2）這個(gè)展開(kāi)式中是否有常數(shù)項(xiàng)？若有，將它求出，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意列出方程${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$=9，求出n的值；
（2）利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）${（x+\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^n}$展開(kāi)式前兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為9，
∴${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$=9，
解得n=8；
（2）展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•${（\frac{2}{\sqrt{x}}）}^{r}$=2^r•${C}_{8}^{r}$•${x}^{8-\frac{3r}{2}}$；
令x的冪指數(shù)8-$\frac{3r}{2}$=0，
可得r=$\frac{16}{3}$不是正整數(shù)，
故展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，是基礎(chǔ)題．