Question

1．設m，n∈R，若直線l：2mx+ny-1=0與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，且坐標原點O到直線l的距離為$\sqrt{3}$，則△AOB的面積S的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由$\frac{1}{\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，利用基本不等式可得4m²+n²=$\frac{1}{3}$≥$2\sqrt{4{m}^{2}{n}^{2}}$，再利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：由直線l：2mx+ny-1=0，令y=0，可得：x=$\frac{1}{2m}$，可得A$（\frac{1}{2m}，0）$，同理可得：$（0，\frac{1}{n}）$．
又$\frac{1}{\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即4m²+n²=$\frac{1}{3}$≥$2\sqrt{4{m}^{2}{n}^{2}}$，當且僅當2|m|=|n|時取等號．
∴S=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}$×|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{\frac{1}{4{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{\frac{1}{3（4{m}^{2}•{n}^{2}）}}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{\sqrt{3}}$×6=3．
故選：C．

點評 本題考查了點到直線的距離公式、兩點之間的距離公式、三角形面積計算公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．