Question

4．已知{a_n}是遞增的等差數列，{b_n}是等比數列，S_n是{a_n}的前n項和，a₁=b₁=1，S₂=$\frac{12}{_{2}}$．
（1）若b₂是a₁，a₃的等差中項，求a_n與b_n的通項公式；
（2）函數f（x）對?x∈R有f（x）+f（1-x）=2，令c_n=$\frac{{a}_{n}}{2m}$，求數列{f（c_m）}前m項的和．

Answer 1

分析 （1）通過a₁=b₁=1與S₂=$\frac{12}{_{2}}$可知2+d=$\frac{12}{q}$，利用等差中項可知2q=1+1+2d，兩者聯(lián)立可得公差和公比，進而可得結論；
（2）通過?x∈R有f（x）+f（1-x）=2可知f（$\frac{1}{2}$）=1，記數列{f（c_m）}前m項的和為T_m，分m為奇數、偶數兩種情況討論，利用f（x）+f（1-x）=2、并項相加即得結論．

解答 解：（1）∵a₁=b₁=1，S₂=$\frac{12}{_{2}}$，
∴2+d=$\frac{12}{q}$，
又∵b₂是a₁，a₃的等差中項，
∴2q=1+1+2d，
解得：d=2或d=-5（舍），q=1+d=3，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1；
（2）∵?x∈R有f（x）+f（1-x）=2，
∴f（$\frac{1}{2}$）=1，f（c_m）=f（$\frac{2n-1}{2m}$），
記所求值數列{f（c_m）}前m項的和為T_m，則
T_m=f（c₁）+f（c₂）+…+f（c_m-1）+f（c_m）
=f（$\frac{1}{2m}$）+f（$\frac{3}{2m}$）+…+f（$\frac{2m-3}{2m}$）+f（$\frac{2m-1}{2m}$），
當m為偶數時，
T_m=[f（$\frac{1}{2m}$）+f（$\frac{2m-1}{2m}$）]+[f（$\frac{3}{2m}$）+f（$\frac{2m-3}{2m}$）]+…+[f（$\frac{2m-1}{2m}$）+f（$\frac{2m+1}{2m}$）]
=2•$\frac{m}{2}$
=m；
當n為奇數時，
T_m=[f（$\frac{1}{2m}$）+f（$\frac{2m-1}{2m}$）]+[f（$\frac{3}{2m}$）+f（$\frac{2m-3}{2m}$）]+…+[f（$\frac{m-2}{2m}$）+f（$\frac{m+2}{2m}$）]+f（$\frac{m}{2m}$）
=2•$\frac{m-1}{2}$+1
=m；
綜上所述，數列{f（c_m）}前m項的和T_m為m．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查并項相加法，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．