Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，則不等式（x+2015）²f（x+2015）-4f（-2）＞0的解集為（　�。�

• A． （2017，+∞）
• B． （0，2017）
• C． （-∞，-2017）
• D． （-2017，0）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令g（x）=x²f（x），對其求導(dǎo)可得g′（x）=2xf（x）+x²f′（x），結(jié)合題意分析可得函數(shù)f（x）為減函數(shù)，再根據(jù)（x+2015）²f（x+2015）-4f（-2）＞0，可得（x+2015）²f（x+2015）＞（-2）²f（-2），即可得出結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意，令g（x）=x²f（x），（x＜0）
其導(dǎo)數(shù)g′（x）=2xf（x）+x²f′（x），
又∵函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，2f（x）+xf′（x）＞x²，
∴2xf（x）+x²f′（x）＜x³＜0，
∴g′（x）=[x²f（x）]′＜0，
∴函數(shù)y=x²f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
∵（x+2015）²f（x+2015）-4f（-2）＞0，
∴（x+2015）²f（x+2015）＞（-2）²f（-2），
∴x+2015＜-2，
x＜-2017，
即不等式（x+2015）²f（x+2015）-4f（-2）＞0的解集為（-∞，-2017）；
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x），并分析其在（-∞，0）上的單調(diào)性．