Question

19．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．
（1）若雙曲線右支上一點(diǎn)A使得△AF₁F₂的面積為$\sqrt{26}$，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓D：（x-3）²+y²=r²（r＞0）與雙曲線C右支交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C上異于M，N的一動(dòng)點(diǎn)，若直線PM，PN與x軸分別交于點(diǎn)R，S，求證：|OR|•|OS|為常數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的a，b，c，設(shè)A（m，n），（m＞0），運(yùn)用三角形的面積公式，解得n，再由A滿足雙曲線的方程，可得m，進(jìn)而得到A的坐標(biāo)；
（2）由條件可知M、N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)M（x₁，y₁），P（x₀，y₀），則N（x₁，-y₁），直線PM的方程為y-y₀=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$（x-x₀），令y=0得點(diǎn)R的橫坐標(biāo)x_R=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$，同理可得點(diǎn)S的橫坐標(biāo)x_S=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$．由此能證明|OR|•|OS|為常數(shù)．

解答 解：（1）雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=3，b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{13}$，
設(shè)A（m，n），（m＞0），
△AF₁F₂的面積為$\sqrt{26}$，可得$\frac{1}{2}$×2c•|n|=$\sqrt{26}$，
解得n=±$\sqrt{2}$，
由$\frac{{m}^{2}}{9}$-$\frac{{n}^{2}}{4}$=1可得m=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$（負(fù)的舍去），
則A的坐標(biāo)為（$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$）或（$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，-$\sqrt{2}$）；
證明：（2）由條件可知M、N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
設(shè)M（x₁，y₁），P（x₀，y₀），
則N（x₁，-y₁），$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=1，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
所以x₁²=$\frac{9}{4}$（4+y₁²），x₀²=$\frac{9}{4}$（4+y₀²）．
直線PM的方程為y-y₀=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$（x-x₀），
令y=0得點(diǎn)R的橫坐標(biāo)x_R=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$，
同理可得點(diǎn)S的橫坐標(biāo)x_S=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$．
于是：|OR|•|OS|=|$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$|•|$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$|=|$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$|
=|$\frac{1}{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$•[$\frac{9}{4}$（4+y₁²）•y₀²-$\frac{9}{4}$（4+y₀²）•y₁²]|=|$\frac{1}{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$•9（y₀²-y₁²）|=9．
所以|OR|•|OS|為常數(shù)9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查兩線段乘積為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線定義和方程的合理運(yùn)用，直線方程的合理運(yùn)用，屬于中檔題．