Question

10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且$\frac{sinC}{sinA-sinB}$=$\frac{a+b}{a-c}$．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）點(diǎn)D滿足$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{BC}$，且線段AD=3，求2a+c的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理和余弦定理，即可求出cosB以及B的值；
（Ⅱ）結(jié)合題意畫出圖形，根據(jù)圖形利用余弦定理和基本不等式，即可求出2a+c的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，$\frac{sinC}{sinA-sinB}$=$\frac{a+b}{a-c}$，
∴$\frac{c}{a-b}$=$\frac{a+b}{a-c}$，
∴ac-c²=a²-b²，
∴ac=a²+c²-b²，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$；
又B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）如圖所示，

點(diǎn)D滿足$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{BC}$，∴BC=CD；
又線段AD=3，
∴AD²=c²+4a²-2•c•2acos$\frac{π}{3}$=c²+4a²-2ac=9，
∴c²+4a²=9+2ac；
又c²+4a²≥2c•2a，
∴4ac≤9+2ac，
∴2ac≤9；
∴（2a+c）²=4a²+4ac+c²=9+6ac≤9+3×9=36，
∴2a+c≤6，
即2a+c的最大值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合題．