Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c=2$\sqrt{3}$，且asinA-csinC=（a-b）sinB．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若c+bcosA=a（4cosA+cosB），求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化簡asinA-csinC=（a-b）sinB，
再利用余弦定理求出cosC，即可求出C的值；
（Ⅱ）利用正弦定理化簡c+bcosA=a（4cosA+cosB），
再利用三角恒等變換得出sinBcosA=2sinAcosA；
討論A=$\frac{π}{2}$和A≠$\frac{π}{2}$時，求出a、b的值，計算△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，asinA-csinC=（a-b）sinB，
∴a²-c²=（a-b）b，
∴a²+b²-c²=ab，
cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$；
又C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）△ABC中，c+bcosA=a（4cosA+cosB），
∴sinC+sinBcosA=sinA（4cosA+cosB），
∴sin（A+B）+sinBcosA=4sinAcosA+sinAcosB，
∴2sinBcosA=4sinAcosA；
又A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{2}$時，cosA=0，
∵c=2$\sqrt{3}$，∴b=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=2$\sqrt{3}$；
A≠$\frac{π}{2}$時，cosA≠0，
∴sinB=2sinA，∴b=2a；
∵c=2$\sqrt{3}$，
∴c²=a²+b²-2abcosC=a²+4a²-2•a•2a•$\frac{1}{2}$=3a²=12，
解得a=2，
∴b=2a=4；
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$；
綜上，△ABC的面積為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦、余弦定理的應用問題，也考查了三角恒等變換以及三角形的面積計算問題，是綜合題．