Question

8．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）和動直線l：y=kx+b（k，b是參變量，且k≠0．b≠0）相交于A（x₁，y₂），N）x₂，y₂）兩點(diǎn)，直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為O，記直線OA，OB的斜率分別為k_OA•k_OB=$\sqrt{3}$恒成立，則當(dāng)k變化時直線l恒經(jīng)過的定點(diǎn)為（　�。�

• A． （-$\sqrt{3}$p，0）
• B． （-2$\sqrt{3}$p，0）
• C． （-$\frac{\sqrt{3}p}{3}$，0）
• D． （-$\frac{2\sqrt{3}p}{3}$，0）

Answer 1

分析 AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y，由根與系數(shù)的關(guān)系，利用k_OA•k_OB=$\sqrt{3}$，求出b的值，即可得出直線AB過定點(diǎn)．

解答 解：將直線與拋物線聯(lián)立，消去y，得k²x²+（2kb-2p）x+b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-2kb+2p}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$；
∵k_OA•k_OB=$\sqrt{3}$，∴y₁y₂=$\sqrt{3}$x₁x₂，
∴y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）
=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=$\frac{2bp}{k}$；
∴$\frac{2bp}{k}$=$\sqrt{3}$•$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，
解得b=$\frac{2pk}{\sqrt{3}}$，
∴y=kx+$\frac{2pk}{\sqrt{3}}$=k（x+$\frac{2p}{\sqrt{3}}$）
令x=-$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，得y=0，
∴直線過定點(diǎn)（-$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，0）．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題目．