Question

17．某職稱晉級評定機(jī)構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示）．規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失�。�滿分100分）．
（Ⅰ）求圖中a的值；
（Ⅱ）根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)？

	晉級成功	晉級失敗	合計(jì)
男	16
女			50
合計(jì)

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

（Ⅲ）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率和為1，列方程求出a的值；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖計(jì)算晉級成功的頻率，填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測值K²，對照臨界值得出能有85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)；
（Ⅲ）由晉級失敗的頻率估計(jì)概率，得X～B（4，$\frac{3}{4}$），計(jì)算對應(yīng)的概率，寫出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)頻率和為1，列方程得：
（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，
解得a=0.005；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為0.20+0.05=0.25；
填寫列聯(lián)表如下，

	晉級成功	晉級失敗	合計(jì)
男	16	34	50
女	9	41	50
合計(jì)	25	75	100

計(jì)算觀測值K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100{×（16×41-9×34）}^{2}}{50×50×25×75}$≈2.613＞2.072，
對照臨界值得，能有85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)；
（Ⅲ）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率視為1-0.25=0.75，
故晉級失敗的概率為0.75；
從本次考試的所有人員中隨機(jī)抽取4人，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為X，
則X～B（4，$\frac{3}{4}$），且P（X=k）=${C}_{4}^{k}$•${（\frac{3}{4}）}^{k}$•${（1-\frac{3}{4}）}^{4-k}$（k=0，1，2，3，4）；
∴P（X=0）=${C}_{4}^{0}$•$（{\frac{3}{4}）}^{0}$•${（\frac{1}{4}）}^{4}$=$\frac{1}{256}$，P（X=1）=${C}_{4}^{1}$•${（\frac{3}{4}）}^{1}$•${（\frac{1}{4}）}^{3}$=$\frac{3}{64}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}$•${（\frac{3}{4}）}^{2}$•${（\frac{1}{4}）}^{2}$=$\frac{54}{256}$，P（X=3）=${C}_{4}^{3}$•${（\frac{3}{4}）}^{3}$•${（\frac{1}{4}）}^{1}$=$\frac{108}{256}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}$•${（\frac{3}{4}）}^{4}$•${（\frac{1}{4}）}^{0}$=$\frac{81}{256}$；
∴X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{256}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{108}{256}$	$\frac{81}{256}$

X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=4×$\frac{3}{4}$=3．

點(diǎn)評 本題考查了頻率分布直方圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)的問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是綜合題．