Question

（2012•菏澤一模）某學(xué)校為調(diào)查了解學(xué)生體能狀況，決定對高三學(xué)生進(jìn)行一次體育達(dá)標(biāo)測試，具體測試項(xiàng)目有100米跑、立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球．測試規(guī)定如下：
①三個測試項(xiàng)目中有兩項(xiàng)測試成績合格即可認(rèn)定為體育達(dá)標(biāo)；
②測試時(shí)要求考生先從三個項(xiàng)目中隨機(jī)抽取兩個進(jìn)行測試，若抽取的兩個項(xiàng)目測試都合格或都不合格時(shí)，不再參加第三個項(xiàng)目的測試；若抽取的兩個項(xiàng)目只有一項(xiàng)合格，則必須參加第三項(xiàng)測試．
已知甲同學(xué)跑、跳、擲三個項(xiàng)目測試合格的概率分別是

1

2

、

2

3

、

3

4

，各項(xiàng)測試時(shí)間間隔恰當(dāng)，每次測試互不影響．
（Ⅰ）求甲同學(xué)恰好先抽取跳、擲兩個項(xiàng)目進(jìn)行測試的概率；
（Ⅱ）求甲同學(xué)經(jīng)過兩個項(xiàng)目測試就能達(dá)標(biāo)的概率；
（Ⅲ）若甲按規(guī)定完成測試，參加測試項(xiàng)目個數(shù)為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲同學(xué)從三個項(xiàng)目中隨機(jī)抽取兩項(xiàng)，從而可求恰好先抽取跳、擲兩個項(xiàng)目進(jìn)行測試的概率；
（Ⅱ）根據(jù)抽取的兩個項(xiàng)目測試都合格或都不合格，可求甲同學(xué)經(jīng)過兩個項(xiàng)目測試就能達(dá)標(biāo)的概率；
（Ⅲ）確定X的取值是2，3，求出相應(yīng)的概率，即可求得X的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）甲同學(xué)從三個項(xiàng)目中隨機(jī)抽取兩項(xiàng)，共有

C

2 3

=3種方法
∴恰好先抽取跳、擲兩個項(xiàng)目進(jìn)行測試的概率為P1=

1

3

；
（Ⅱ）甲同學(xué)經(jīng)過兩個項(xiàng)目測試就能達(dá)標(biāo)的概率為P₂=

1

3

×

1

2

×

2

3

+

1

3

×

1

2

×

3

4

+

1

3

×

2

3

×

3

4

=

29

72

；
（Ⅲ）X的取值是2，3
X=2時(shí)，甲同學(xué)隨機(jī)抽取的兩項(xiàng)測試全部合格或者全部合格，
則P（X=2）=

1

3

（

1

2

×

2

3

+

1

2

×

3

4

+

2

3

×

3

4

）+

1

3

（

1

2

×

1

3

+

1

2

×

1

4

+

1

3

×

1

4

）=

19

36

X=3時(shí)，P（X=3）=1-P（X=2）=

17

36

，
∴X的分布列為

X	2	3
P	19 36	17 36

∴EX=2×

19

36

+3×

17

36

=

89

36

．

點(diǎn)評：本題考查概率知識，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，正確求概率是關(guān)鍵．